Intervalo de Confianza para una media

Supongamos una v. a. x con distribución N(µ ; ) en donde la media µ es desconocida y la varianza , la suponemos por ahora conocida. Con el fin de estimar µ (colesterol medio, nivel medio de glucosa, altura media de los varones mayores de edad, etc.) se va a tomar una muestra aleatoria x1 ,x2 ,...,xn que proporciona una media que será una estimación puntual de µ. Aceptaremos sin demostrarlo que:
(4.1)
con probabilidad del 95%, y así tenemos el intervalo buscado. Esta expresión debe interpretarse adecuadamente. Ella indica que el 95% de las muestras de tamaño n tendrán una media que, al sustituirla en la expresión, da lugar a un intervalo que contiene en su interior a µ, en tanto que otro 5% no sucederá esto. Nótese que se ha dicho que "el intervalo contiene en su interior a µ, y no que "µ cae en el interior del intervalo"; la primera afirmación es cierta pues los extremos del intervalo son v. a. por depender de que también lo es; la segunda afirmación es falsa pues µ es un parámetro (valor fijo aunque desconocido), no una v.a., no pudiendo variar. Así pues debe decirse que hay una probabilidad del 95% de que el intervalo contenga al parámetro.
En el ejemplo de la estatura media µ de los españoles, si se tiene que , dado que el 95% de los intervalos contienen a µ, diremos que "tenemos la esperanza de que este sea uno de los 95 intervalos de cada 100 que dejan en su interior a µ, esperando no haber tenido la mala suerte de que el intervalo obtenido sea uno de los 5 de cada 100 intervalos erróneos". Más abreviadamente, diremos que µ está entre (169 ; 172) "con una confianza del 95%"; de ahí el nombre de intervalo de confianza. Conviene notar que ahora se habla de "confianza" , y no de "probabilidad" como antes, pues los extremos del intervalo ya son números fijos y µ o está o no está dentro.
El intervalo (4.1) podemos expresarlo abreviadamente como
, debiéndose el valor 1,96 al 5% de error tomado, es decir z0,05 = 1,96 en la tabla de la Distribución Normal.. De un modo general, si en lugar de una confianza del 95% tomamos una de (1 - ), (o en lugar de un error del 5% se toma uno de ), entonces el intervalo será:
(4.2)
con ,en la tabla de la D. N..
Ejemplo: Para determinar la estatura media de los varones adultos españoles, se tomó una muestra al azar de 10 de ellos en la que se obtuvo los valores 162, 176, 169, 165, 171, 169, 172, 168, 167 y 175 cm. Determinar el valor de la estatura media, suponiendo que = 16.
Un estimador puntual para la estatura media µ es la que en este caso es 169,4. Para dar un intervalo de confianza hemos de suponer que es una v. a. normal. Como n=10, = 169,4 y = 4, para el intervalo de confianza al 95%, la expresión (4.1) indica que

Así pues, esperamos que este intervalo sea un de los 95 de cada 100 que contienen a µ, o, más brevemente, la estatura media de los españoles varones adultos es algún valor entre 166,92 cm y 171,88 cm con una confianza del 95%.
Es evidente que un intervalo de confianza para un dado será tanto más preciso cuanto más estrecho sea. Así, será preferible afirmar que la estatura media está entre 170 y 171 cm al 95% de confianza, que afirmar que la estatura está entre 165 y 175 con igual confianza. Como la longitud del intervalo es dos veces su radio, el mismo puede disminuirse aumentando el valor del tamaño de la muestra (pues n aparece dividiendo). Ello responde a una regla que será general en toda la Estadística: cuanto más grande sea una muestra, más información da y más precisas son las conclusiones que se obtengan a partir de ella.
La otra forma de estrechar el intervalo es disminuyendo la confianza ( es decir, aumentando el error). Así z0,05 = 1,96, pero z0,15 = 1,44, que por ser menor da un intervalo más estrecho. Sin embargo ahora la anchura del intervalo ha disminuido a costa de la seguridad (confianza) del mismo, y ello no es deseable. Lo usual es considerar errores del 5%, aunque en ocasiones se utilizan otros como los del 1% o del 10%. Nos podemos preguntar ¿se puede dar un intervalo al 100% de confianza?; la respuesta es que esto exigiría una z0,00 = , con lo que el intervalo sería ( - , ) que en el caso del ejemplo daría lugar a la afirmación "la estatura media de los españoles está entre - y ", que es absolutamente cierta y absolutamente inútil también.
Hasta este momento hemos supuesto que la varianza de la población era conocida, lo que no suele ser real. Cuando es desconocida, lo lógico es sustituirla por su estimador s, obteniendo así que .Sin embargo s es una v. a. y unas veces será más grande que y otras más pequeña, lo que da una cierta imprecisión al intervalo. Conviene ensanchar un poco el intervalo para que la confianza del mismo permanezca. El modo de hacerlo consiste en aumentar el valor de , localizándolo en una tabla distinta. Ahora tendremos:
(4.3)
con t en la tabla de la distribución t de Student con (n-1) grados de libertad, tabla que presenta los valores de t en un formato similar al de la distribución normal, excepto en que la nueva variable depende de un nuevo parámetro llamado grados de libertad.